大学時代に固体物理学の講義で習ったはずなのにすっかり忘れていたので、復習ついでにまとめます。講義で教わった通りの導出方法ですが、数学的に厳密ではないと思います。より厳密な導出方法は、参考資料に上げた福岡大学の講義ノートを参照するのが良さそうです。

粒子が時刻 $ t $ で位置$ x $にある確率を$ p(x,t) $と表すと、 $$ p(x, t+\Delta t) = \frac{1}{2}p(x-\Delta x, t) + \frac{1}{2}p(x+\Delta x, t) $$ となる。両辺から$ p(x,t) $を引いて整理すると、 $$ \frac{p(x, t+\Delta t) - p(x,t)}{\Delta t} \Delta t = \frac{p(x+\Delta x, t) - p(x,t)}{2(\Delta x)^{2}} (\Delta x)^{2} + \frac{p(x, t) - p(x-\Delta x,t)}{2(\Delta x)^{2}} (\Delta x)^{2}$$ となる。ここで$ \kappa = \frac{ (\Delta x)^{2}}{2\Delta t} $とし$ \Delta x \rightarrow 0, \Delta t \rightarrow 0$とすると、上式の左辺は$ p(x,t) $の$ t $に関する一階偏微分、右辺は$ p(x,t) $の$ x $に関する二階偏微分だから、下記のように拡散方程式が得られる。 $$ \frac{\partial p(x, t)}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^{2} p(x, t)}{\partial x^{2}} $$ ここで$ \kappa $を拡散係数と呼ぶ。